New PDF release: Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung

By Jürgen Appell

ISBN-10: 3540889027

ISBN-13: 9783540889021

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer guy die Bedeutung mathematischer Sätze besonders intestine erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt.

Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aussagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr intestine als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

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Example text

F (x) < 0] auch für x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) gilt. Beweis: Gelte o. B. d. 31 f (x0 ) > 0. Dann ist ε := f (x0 )/2 > 0, und wegen der Stetigkeit von f in x0 finden wir zu diesem ε ein δ > 0 so, dass |f (x) − f (x0 )| < ε ausfällt für |x − x0 | < δ. Aus f (x0 ) − f (x) ≤ |f (x) − f (x0 )| folgt aber f (x) − f (x0 ) ≥ −|f (x) − f (x0 )| > −ε, also f (x) = f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) > −ε + f (x0 ) = −ε + 2ε = ε > 0 , und dies war gerade die Behauptung. Im Falle f (x0 ) < 0 ersetzen wir f durch die Funktion −f und benutzen das soeben Bewiesene.

55 werden wir eine Verfeinerung dieses Beispiels betrachten. 53. Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist beschränkt. Beweis: Wir nehmen an, f sei nicht beschränkt. Dann finden wir ein x1 ∈ [a, b] mit |f (x1 )| > 1, ein x2 ∈ [a, b] mit |f (x2 )| > 2 und allgemein für jedes n ∈ N ein xn ∈ [a, b] mit |f (xn )| > n. 20 im Anhang folgt dann, dass auch die Folge der Funktionswerte (f (xnm ))m konvergiert, und zwar gegen f (x∗ ). Nach dem oben Festgestellten ist (f (xnm ))m als konvergente Folge beschränkt.

Diese Frage lässt sich tatsächlich vollständig und sogar recht einfach beantworten. 22. 23. Jede abzählbar unendliche Menge M = {x1 , x2 , x3 , . } (z. B. M = Q) ist eine Fσ -Menge, weil man sie als abzählbare Vereinigung der einpunktigen abgeschlossenen Mengen {xn } (n = 1, 2, 3, . ) darstellen kann. 7 in Kapitel 4 sehr elegant beweisen. Trivialerweise ist jede abgeschlossene Menge eine Fσ -Menge. Aber auch offene und halboffene Intervalle sind Fσ -Mengen; so können wir z. B. das Intervall (a, b) in der Form ∞ (a, b) = a + n1 , b − 1 n n=1 darstellen, und ähnlich auch die Intervalle [a, b) und (a, b].

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by Jeff
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